Taula de Continguts
Coneixements previs
Aquest article pressuposa que el lector coneix el -espai vectorial
i que ja s’ha introduït les definicions de matriu transposada , de producte de matrius on , i les propietats essencials, com l’associativa, la no commutativa del producte de matrius, les distributives…
Definició. Per a cada nombre natural anomenem matriu identitat a la matriu quadrada de mida .
Observacions. Es pot comprovar fàcilment que aquesta matriu fa d’element unitat respecte del producte de matrius, tant per la dreta com per l’esquerra.
Exercici 1. Donades ,
Comproveu que (solució), però (solució).
Matrius invertibles
Definició. Donada una matriu ,
- Direm que és una inversa per l’esquerra de si es compleix que .
- Direm que és una inversa per la dreta de si es compleix que .
A l’exemple anterior, hem vist que en el cas de matrius no quadrades, és possible trobar-ne dues que compleixin (1) , però no compleixin (2) .
L’objectiu d’aquest article és provar que en el cas de matrius quadrades això no pot passar. La inversa per l’esquerra d’una matriu quadrada també és inversa per la dreta i, de la mateixa manera, la inversa per la dreta d’una matriu quadrada també és inversa per l’esquerra. En termes matemàtics, cal provar el següent teorema.
Teorema. Siguin . Si , aleshores .
Una demostració falsa
S’ha d’anar amb compte i no caure en la trampa de falses demostracions o fal·làcies.
Falsa prova (per reducció a l’absurd).
Suposem que (1) i que (2).
Multipliquem els dos membres de l’expressió (2) per A per l’esquerra!!
Ens queda .
En virtut de la propietat associativa del producte de matrius tenim .
Aplicant (1) ens queda , d’on , i això és absurd! ■
On està la fal·làcia?
Analitzarem el pas assenyalat amb signes d’exclamació i veurem perquè és incorrecte.
Abans, unes nocions bàsiques de càlcul de proposicions i sintaxi de primer ordre.
Contrarecíproc.
Reducció a l’absurd.
Principi d’identitat.
Principi de substitució.
A la falsa demostració aplica bé la reducció a l’absurd i arriba a una contradicció amb el principi d’identitat, però fa un mal ús del principi de substitució, doncs ho aplica a una no igualtat. Encara que el que vol demostrar és un teorema cert, la demostració no és vàlida perquè en aquesta utilitza una propietat que de fet és equivalent a la que vol demostrar sense demostrar-la, ho veiem amb detall.
En el pas assenyalat fa exactament el següent
Per simplificar, sigui , el que utilitza és
En termes lògics, això és , que equival al seu contrarecíproc, que és , expressió pròpia d’una funció injectiva.
En el nostre cas, per contrarecíproc, el pas utilitzat equival a (3)
Això seria cert si tingués inversa per l’esquerra, però que és la seva inversa per l’esquerra és just el que volem demostrar.
Exercici 2. Trobar un contraexemple de (3), és a dir, una matriu que compleixi . Evidentment, la matriu del contraexemple no pot tenir inversa per l’esquerra. (Solució aquí).
De fet, al lema de la demostració correcta que trobareu al següent apartat, provarem que en cas que (1), la propietat (3) és equivalent a què (2), que és el que volem demostrar. És a dir, en un pas de la demostració s’utilitza una propietat equivalent a allò que es vol demostrar. I aquesta propietat no es demostra. Aquí està la fal·làcia!
Una altra demostració falsa
Per tant, el teorema quedaria provat si demostrem aquesta altra versió.
Teorema. Si , aleshores
S’ha d’anar amb compte, per què és molt temptador caure en falses demostracions.
Falsa prova. Suposem (1)
De tenim , i traient factor comú tenim .
Per (1) sabem que ,
Si un producte val zero, un dels factors ha de ser zero!!!!
D’on , i per tant . ■
I ara on està la fal·làcia?
Novament el pas assenyalat amb signes d’exclamació és incorrecte.
L’àlgebra de matrius té divisors de zero. Això vol dir que de no podem deduir que , perquè podem trobar contraexemples.
Exercici 3. Trobar un contraexemple de , és a dir, dues matrius que compleixin . Evidentment, ni la matriu ha de tenir inversa per l’esquerra, ni la matriu ha de tenir inversa per la dreta. (Solució aquí).
Un lema
Lema. Si , aleshores
Prova del lema.
Suposem (1)
Demostrem
Suposem (2).
Sigui qualsevol.
Si , multipliquem als dos membres de la igualtat per l’esquerra per .
Tenim , que és , i utilitzant (2) resulta que .
Per tant . ■
Demostrem
Suposem (3)
De , per (1), tenim , d’on
Sigui , tenim , i per (3) .
Per tant . ■
Demostració del teorema
Aquesta demostració és de KEVIN CHEUNG. La podeu trobar aquí.
Entrada feta amb
0 comments on “Inversa per l’esquerra i per la dreta” Add yours →