Danton Llapart

Monotonia d’una FRVR

Problema

La monotonia d’una funció real de variable real (FRVR) és pot provar de dues maneres, per definició o com aplicació de les derivades.

Posem com exemple una funció racional, \displaystyle v(p) = \frac{30p + 10}{p} .

Donem-li un contèx social, p és el preu de venta al públi i v(p) la previsió de vendes.

Adjunto la gràfica per més enteniment.

 

Observem que el domini de la funció és Dom \ v = \mathbb{R} - \{ 0 \}

Si prenem la premissa que el preu no pot ser negatiu, aleshores podem suposar que Dom \ v = \mathbb{R}^{+} = (0, + \infty)

Primera manera (per definició)

Cal demostrar que la funció és monòtona decreixent. Per definició, això és a < b \rightarrow v(a) > v(b) \quad \forall a,b \in Dom \ v .

En efecte

Suposem a < b (1)

Cal provar que v(a) > v(b) .

Això és, \displaystyle \frac{30a + 10}{a} > \frac{30b + 10}{b} , que és \displaystyle 30 + \frac{10}{a} > 30 + \frac{10}{b} .

Simplificat és \displaystyle \frac{10}{a} > \frac{10}{b} , que equival a \displaystyle \frac{1}{a} > \frac{1}{b} (2)

Ara bé, com estem suposant que a, b són positius.

De (1) a < b tenim \displaystyle \frac{1}{b} < \frac{1}{a} , que és precisament (2), el que volíem demostrar.

Nota

Pel cas a negatiu i b positiu, i pel cas a i b negatius,
també és cert, però no cal provar-ho.

Segona manera (aplicació de la derivada)

Com aplicació de les derivades, una condició necessària i suficient de què la funció sigui monòtona decreixent és:

v'(p) < 0 \quad \forall p \in Dom \ V

Vegem-ho

Tenim que \displaystyle v(p) = \frac{30p + 10}{p} = 30 + 10 \, p^{-1} .

D’on \displaystyle v'(p) = -10 \, p^{-2} = \frac{-10}{p^2} .

Cal provar \displaystyle v'(p) = \frac{-10}{p^2} < 0 \quad \forall p \in Dom \ f .

Si estudiem el signe de l’expressió, veiem que el numerador és sempre negatiu i el denominador és sempre positiu.

(Podeu fer un quadre del signe de la primera derivada).

Per tant v'(p) < 0 \quad \forall p \in Dom \ f , que és el que volíem demostrar.

Quin seria el volum de vendes per a valors grans de p?

Aprofitem la funció per fer aquest darrer raonament.

Com \displaystyle \lim_{p \to \infty}\, v(p)= \lim_{p \to \infty}\, \frac{30p + 10}{p} = 30

La recta y = 30 és asímptota horitzontal de la funció.

Així que per grans valors de p, v(p) s’apropa a 30.

Nota

Per ser més precisos podem raonar que, en ser la funció monòtona decreixent, tendirà a estabilitzar-se PER SOBRE de 30.

Deixa un comentari

Aquest lloc utilitza Akismet per reduir els comentaris brossa. Apreneu com es processen les dades dels comentaris.