Productes d’àlgebra vectorial

Taula de Continguts

Notació

Acostumem a fer servir el símbol | | indistintament:

pel valor absolut d’un nombre,
pel mòdul d’un vector,
pel determinant d’una matriu quadrada.

En aquest apunt surten els tres conceptes, per evitar confusions farem servir:

| | per al valor absolut d’un nombre
|| || per al mòdul d’un vector
det ( ) per al determinant d’una matriu quadrada.

Anem a diferenciar tres productes, producte per escalars, producte escalar i producte vectorial.

Pel producte per escalar no posem cap símbol entre l’escalar i el vector.
Pel producte escalar posarem un punt entre els dos vectors, $\vec{u} \cdot \vec{v}$ . Hi ha llibres que ho escriuen així $<\vec{u}, \vec{v}>$
Pel producte vectorial posarem el signe $\land$ entre els dos vectors, $\vec{u} \land \vec{v}$ . Hi ha llibres que ho escriuen així $\vec{u} \times \vec{v}$

Producte per escalars

És el producte d’un escalar (un nombre real) k per un vector $\vec{u}$ , i el resultat és un vector $k \vec{u}$

Geomètricament estem obtenim un vector que és linealment dependent al vector $\vec{u}$

Si k > 0, el resultat és un vector amb la mateixa direcció i el mateix sentit.
Si k = 0. el resultat és el vector $\vec{0}$
Si k < 0, el resultat és un vector amb la mateixa direcció i sentit contrari.

Producte escalar

És el producte de dos vectors $\vec{u}$ , $\vec{v}$ i el resultat és un escalar (un nombre real).

Analíticament, treballant amb la base canònica usual l’expressió és:

En el cas de dimensió 2

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1\\ u_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix} = u_1 v_1 + u_2 v_2$

En el cas de dimensió 3

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$

Geomètricament està relacionat amb l’angle entre els dos vectors:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})$

on $\displaystyle ||\vec{u}|| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$ és el mòdul del vector.

En el cas dimensió 2

$\displaystyle ||\vec{u}|| = \sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2}$

En el cas de dimensió 3

$\displaystyle ||\vec{u}|| = \sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2+{u_3}^2}$

Ens permet trobar l’angle que formen dos vectors, aïllant el cosinus:

$\displaystyle cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$

Exemple en dimensió 3

Trobar l’angle que formen els vectores $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ i $\vec{v }= \begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}$ .

Si anomenem $\alpha$ l’angle que formen els vectores, tenim:

$\displaystyle cos(\alpha)=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$

$\displaystyle cos(\alpha) = \frac{2 \cdot 2 + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 1}{\sqrt{2^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}} = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{9}} = \frac{5}{3 \sqrt{5}}$

Amb la calculadora tenim que $\alpha =$ 41º 48′ 47”

Aplicació. Condició d’ortogonalitat.

Dos vectors $\vec{u}$ , $\vec{v}$ són ortogonals, i escriurem $\vec{u} \perp \vec{v}$ ssi $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Aplicació. Vector ortogonal a un hiperplà.

Si n és la dimensió de l’espai, un hiperplà és un espai de dimensió n – 1.

En el cas de dimensió 2

Un hiperplà és una recta amb equació general r: Ax + By = C

El vector ortogonal a la recta és $\vec{u^{\perp}} = \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}$

En el cas de dimensió 3

Un hiperplà és un pla amb equació general $\Pi$ : Ax + By + Cz = D

El vector ortogonal al pla és $\vec{u^{\perp}} = \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix}$

Aplicació. Distància punt-hiperplà.

Donat un punt P i un hiperplà amb vector ortogonal $\vec{u^{\perp}}$

la distància entre el punt i l’hiperplà ve determinada per la fórmula $\displaystyle d (P, r) = \frac{ | \vec{u^{\perp}} \cdot \vec{OP} |} {|| \vec{u^{\perp}} ||}$

En el cas de dimensió 2

$\displaystyle d (P, r) = \frac{ | Aa + Bb |} { \sqrt{A^2 + B^2} }$ on (a,b) són les coordenades del punt P.

En el cas de dimensió 3

$\displaystyle d (P, \pi) = \frac{ | Aa + Bb + Cc|} { \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} }$ on (a,b,c) són les coordenades del punt P.

Aplicació. Distància entre dos hiperplans paral·lels.

En el cas de dimensió 2

Considerem $r_1: Ax + By = C_1$ la primera recta i $r_2: Ax + By = C_2$ la segona recta.

$\displaystyle d (r_1, r_2) = \frac{ | C_2 - C_1 |} { \sqrt{A^2 +B^2} }$ .

En el cas de dimensió 3

Considerem $\pi_1: Ax + By + Cz = D_1$ el primer pla i $\pi_2: Ax + By + Cz = D_2$ el segon pla.

$\displaystyle d (\pi_1, \pi_2) = \frac{ | D_2 - D_1 |} { \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} }$ .

Producte vectorial

En dimensió 2 aquest producte no està definit. Ho veurem només per dimensió 3.

És el producte de dos vectors $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , i el resultat és un vector $\vec{w}$ .

Analíticament, treballant amb la base canònica usual, l’expressió és:

$\vec{u} \land \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix} = det \begin{pmatrix} i & u_1 & v_1\\ i & u_2 & v_2\\ k & u_3 & v_3 \end{pmatrix}$

La tècnica és la següent, desenvolupem el determinant per la primera columna i els coeficients de i, j, k són les components del vector.

$\vec{u} \land \vec{v} = det \begin{pmatrix} u_2 & v_2\\ u_3 & v_3 \end{pmatrix} \vec{i} - det \begin{pmatrix} u_1 & v_1\\ u_3 & v_3\end{pmatrix} \vec{j} + det \begin{pmatrix} u_1 & v_1\\ u_2 & v_2 \end{pmatrix} \vec{k} = \begin{pmatrix} det \begin{pmatrix} u_2 & v_2\\ u_3 & v_3 \end{pmatrix} \\ - det \begin{pmatrix} u_1 & v_1\\ u_3 & v_3 \end{pmatrix} \\ det \begin{pmatrix} u_1 & v_1\\ u_2 & v_2 \end{pmatrix} \end{pmatrix}$

Propietat

$\vec{u} \land \vec{v} = \vec{0}$ ssi $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són linealment dependents.

Geomètricament

Si $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són linealment independents.

aleshores $\vec{u} \land \vec{v}$ és un vector no nul que és ortogonal als dos vectors alhora.

Aquesta interpretació geomètrica serà àmpliament utilitzada en exercicis de geometria mètrica.

Aplicacions al càlculs d’àrees i volums a l’espai

Aquestes són unes fórmules pràctiques. Normalment a les PAU te les recorde a l’enunciat quan s’han d’utilitzar.

Àrea d’un triangle de vèrtex A, B i C

$\displaystyle \frac{1}{2} \ | \vec{AB} \land \vec{AC} |$

Àrea d’un paral·lelogram de vèrtex A, B, C i D

$| \vec{AB} \land \vec{AC} |$

Volum d’un tetraedre de vèrtex A, B, C i D

$\displaystyle \frac{1}{6} \ | det \, (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD} ) |$

Volum d’un paral·lelepípede en el que B, C i D són vèrtexs contigus a A

$| det \, (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD} ) |$

Producte mixte de tres vectors

$[ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ] = \vec{u} \cdot ( \vec{v} \land \vec{w} ) = | det \, (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) |$ també s’anomena producte mixte, el resultat és un nombre, que representa el volum del paral·lelepípede.

Exercicis proposats

1. Trobar l’àrea del paral·lelogram que té per costats els vectors $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ i $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

2. Obtenir el volum del tetraedre de vèrtexs A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) i D(1, 1, 7).

3. Trobar el volum del paral·lepípede format pels vectors $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}$ , $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ i $\vec{w} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$