Danton Llapart

Productes d’àlgebra vectorial

Notació

Acostumem a fer servir el símbol |  | indistintament:

  • pel valor absolut d’un nombre,
  • pel mòdul d’un vector,
  • pel determinant d’una matriu quadrada.

En aquest apunt surten els tres conceptes, per evitar confusions farem servir:

  • |  | per al valor absolut d’un nombre
  • ||  || per al mòdul d’un vector
  • det (  ) per al determinant d’una matriu quadrada.

Anem a diferenciar tres productes, producte per escalars, producte escalar i producte vectorial.

  • Pel producte per escalar no posem cap símbol entre l’escalar i el vector.
  • Pel producte escalar posarem un punt entre els dos vectors, \vec{u} \cdot \vec{v} . Hi ha llibres que ho escriuen així  <\vec{u}, \vec{v}>
  • Pel producte vectorial posarem el signe \land entre els dos vectors, \vec{u} \land \vec{v} . Hi ha llibres que ho escriuen així \vec{u} \times \vec{v}

Producte per escalars

És el producte d’un escalar (un nombre real) k per un vector \vec{u} , i el resultat és un vector k \vec{u}

Geomètricament estem obtenim un vector que és linealment dependent al vector \vec{u}

  • Si k > 0, el resultat és un vector amb la mateixa direcció i el mateix sentit.
  • Si k = 0. el resultat és el vector \vec{0}
  • Si k < 0, el resultat és un vector amb la mateixa direcció i sentit contrari.

Producte escalar

És el producte de dos vectors \vec{u} , \vec{v}  i el resultat és un escalar (un nombre real).

Analíticament, treballant amb la base canònica usual l’expressió és:

En el cas de dimensió 2

\vec{u} \cdot \vec{v} =  \begin{pmatrix}  u_1\\  u_2 \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix}  v_1\\  v_2 \end{pmatrix} =  u_1 v_1 + u_2 v_2

En el cas de dimensió 3

\vec{u} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3

Geomètricament està relacionat amb l’angle entre els dos vectors:

\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})

on \displaystyle ||\vec{u}|| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} és el mòdul del vector.

En el cas dimensió 2

\displaystyle ||\vec{u}|| = \sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2}

En el cas de dimensió 3

\displaystyle ||\vec{u}|| = \sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2+{u_3}^2}

Ens permet trobar l’angle que formen dos vectors, aïllant el cosinus:

\displaystyle cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}

Exemple en dimensió 3

Trobar l’angle que formen els vectores \vec{u} = \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}  \vec{v }= \begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 1 \end{pmatrix} .

Si anomenem \alpha l’angle que formen els vectores, tenim:

\displaystyle cos(\alpha)=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}

\displaystyle cos(\alpha) = \frac{2 \cdot 2 + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 1}{\sqrt{2^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}} = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{9}} = \frac{5}{3 \sqrt{5}}

Amb la calculadora tenim que \alpha = 41º 48′ 47”

Aplicació. Condició d’ortogonalitat.

Dos vectors \vec{u} , \vec{v} són ortogonals, i escriurem  \vec{u} \perp \vec{v} ssi \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Aplicació. Vector ortogonal a un hiperplà.

Si n és la dimensió de l’espai, un hiperplà és un espai de dimensió n – 1.

En el cas de dimensió 2

Un hiperplà és una recta amb equació general r: Ax + By = C

El vector ortogonal a la recta és \vec{u^{\perp}} = \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}

En el cas de dimensió 3

Un hiperplà és un pla amb equació general \Pi : Ax + By + Cz = D

El vector ortogonal al pla és \vec{u^{\perp}} =  \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix}

Aplicació. Distància punt-hiperplà.

Donat un punt P i un hiperplà amb vector ortogonal  \vec{u^{\perp}}

la distància entre el punt i l’hiperplà ve determinada per la fórmula \displaystyle d (P, r) = \frac{ | \vec{u^{\perp}} \cdot \vec{OP} |} {|| \vec{u^{\perp}} ||}

En el cas de dimensió 2

\displaystyle d (P, r) = \frac{ | Aa + Bb |} { \sqrt{A^2 + B^2} } on (a,b) són les coordenades del punt P.

En el cas de dimensió 3

\displaystyle d (P, \pi) = \frac{ | Aa + Bb + Cc|} { \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} } on (a,b,c) són les coordenades del punt P.

Aplicació. Distància entre dos hiperplans paral·lels.

En el cas de dimensió 2

Considerem r_1: Ax + By = C_1 la primera recta i  r_2: Ax + By = C_2 la segona recta.

\displaystyle d (r_1, r_2) = \frac{ | C_2 - C_1 |} { \sqrt{A^2 +B^2} } .

En el cas de dimensió 3

Considerem \pi_1: Ax + By + Cz = D_1 el primer pla i  \pi_2: Ax + By + Cz = D_2 el segon pla.

\displaystyle d (\pi_1, \pi_2) = \frac{ | D_2 - D_1 |} { \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} } .

Producte vectorial

En dimensió 2 aquest producte no està definit. Ho veurem només per dimensió 3.

És el producte de dos vectors \vec{u} , \vec{v} , i el resultat és un vector \vec{w} .

Analíticament, treballant amb la base canònica usual, l’expressió és:

\vec{u} \land \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix} = det \begin{pmatrix} i & u_1 & v_1\\ i & u_2 & v_2\\ k & u_3 & v_3 \end{pmatrix}

La tècnica és la següent, desenvolupem el determinant per la primera columna i els coeficients de i, j, k són les components del vector.

\vec{u} \land \vec{v} = det \begin{pmatrix} u_2 & v_2\\ u_3 & v_3 \end{pmatrix} \vec{i} - det \begin{pmatrix} u_1 & v_1\\ u_3 & v_3\end{pmatrix} \vec{j} + det \begin{pmatrix} u_1 & v_1\\ u_2 & v_2 \end{pmatrix} \vec{k} = \begin{pmatrix}  det \begin{pmatrix} u_2 & v_2\\ u_3 & v_3 \end{pmatrix} \\ - det \begin{pmatrix} u_1 & v_1\\ u_3 & v_3 \end{pmatrix} \\ det \begin{pmatrix} u_1 & v_1\\ u_2 & v_2 \end{pmatrix} \end{pmatrix}

Propietat

\vec{u} \land \vec{v} = \vec{0} ssi  \vec{u} \vec{v} són linealment dependents.

Geomètricament

Si  \vec{u} \vec{v} són linealment independents.

aleshores \vec{u} \land \vec{v} és un vector no nul que és ortogonal als dos vectors alhora.

Aquesta interpretació geomètrica serà àmpliament utilitzada en exercicis de geometria mètrica.

Aplicacions al càlculs d’àrees i volums a l’espai

Aquestes són unes fórmules pràctiques. Normalment a les PAU te les recorde a l’enunciat quan s’han d’utilitzar.

Àrea d’un triangle de vèrtex A, B i C

\displaystyle \frac{1}{2} \ | \vec{AB} \land \vec{AC} |

Àrea d’un paral·lelogram de vèrtex A, B, C i D

| \vec{AB} \land \vec{AC} |

Volum d’un tetraedre de vèrtex A, B, C i D

\displaystyle \frac{1}{6} \ | det \, (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD} ) |

Volum d’un paral·lelepípede en el que B, C i D són vèrtexs contigus a A

| det \, (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD} ) |

Producte mixte de tres vectors

[ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ] = \vec{u} \cdot ( \vec{v} \land \vec{w} ) = | det \, (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) | també s’anomena producte mixte, el resultat és un nombre, que representa el volum del paral·lelepípede.

Exercicis proposats

1. Trobar l’àrea del paral·lelogram que té per costats els vectors \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} i  \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}

2. Obtenir el volum del tetraedre de vèrtexs A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) i D(1, 1, 7).

3. Trobar el volum del paral·lepípede format pels vectors \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} ,  \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} i  \vec{w} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}

4. Calcular la distància entre el pla \pi_1 = 2x - y - 2z + 5 = 0 i el pla \pi_2 = 4x - 2y - 4z + 15 = 0 .

Solucions: 7\sqrt{6} u.s.; 5/6 u.v; 91 u.v.; 5/6 u.

Deixa un comentari

Aquest lloc utilitza Akismet per reduir els comentaris brossa. Apreneu com es processen les dades dels comentaris.