Regla de Barrow

Integral

Les integrals és un concepte de mesura relacionat amb el càlcul d’àrees, però s’ha d’anar en compte perquè no és el mateix.

Donades dues funcions del pla, y = f(x) i y = g(x), l’integral a l’interval [a, b], o entre x = a i x = b, de la regió compresa entre les dues funcions s’expressa com.

En el cas particular que y = g(x) sigui l’eix d’abscisses, eix de les x, és a dir, y = g(x) = 0, l’expressió és més simplificada.

A diferència de les àrees, que sempre són positives, l’integral pot ser positiva, zero o negativa.

• Quant f(x) està per sobre de g(x), l’integral és positiva, quan està per sota, és negativa.
• I si a l’interval hi ha regions per sobre i regions per sota, les àrees per sota resten a les de per sobre en el còmput final.

Per entendre el concepte fixem-nos en el dibuix que ens ha fet la Natàlia.

1. , primera regió en gris, és positiva, perquè y = f(x) està per sobre de l’eix d’abscisses en aquest tram.
2. , regió en blau, és negativa, perquè y = f(x) està per sota de l’eix d’abscisses en aquest tram.
3. , segona regió en gris, és positiva, perquè y = f(x) està per sobre de l’eix d’abscisses en aquest tram.

D’aquesta manera si fem  no ens donaria l’àrea entre la funció i l’eix de les x, és un altre mesura semblant a l’àrea, on al valor de l’àrea de les zones en gris se li resta el valor de l’àrea de les regió blava.

Metodologia per trobar l’àrea entre dues funcions a un interval

Considerem les funcions y = f(x), y = g(x) i un interval [a,b].

Si el que volem és calcular l’àrea entre les dues funcions a un interval, que no és el mateix que la integral, cal trobar primer els punts de tall entre les dues funcions dins de l’interval per si de cas les funcions es creuen i hi ha regions amb
f(x) per sobre de g(x) i d’altres a l’inrevés.

Per tant, el PRIMER PAS és resoldre l’equació f(x) = g(x).

Només ens interessen les solucions que estiguin din de l’interval [a, b], les altres no ens valen per res.

Suposem que hem trobat dues solucions x₁ i x₂ dins de l’interval [a, b], és a dir a < x₁ < x₂ < b.

Aleshores el SEGON PAS per calcular l’àrea és separar l’integral en tres trossos i agafar el valor absolut (si ja és positiu, queda positiu, i si és negatiu, canvia a positiu) en cada tros. La fórmula de l’àrea quedaria així.

ÀREA = 

I com és calcula una integral, dons amb la Regla de Barrow.

Regla de Barrow

La Regla de Barrow és un corol·lari (una conseqüència immediata) del Teorema Fonamental del Càlcul Integral,  És la part pràctica del teorema, la regla que hem d’utilitzar en els exercicis. La funció y = f(x) ha de ser continua a l’interval [a, b],
no poden haver ni salts finits ni asímptotes verticals pel mig, En aquestes condicions, el teorema diu:

on F(x) és la primitiva de f(x), és a dir,

Nota

A l’hora de fer la primitiva no cal contemplar la constat K d’integració, doncs a l’aplica la reglar i restar F(b) i F(a) les constants K – K es simplificarien.

Nota

En alguns llibres, a la primitiva li diuen “integral” i a la integral li diuen “integral definida”.

Exercicis proposats

Us proposo quatre exercicis d’aplicació de la regla de Barrow

Exercici 1

Calculeu l’àrea de la regió del plà delimitada per  y = x² – 3x + 2 i l’eix d’abscisses a l’interval [0, 4]

Exercici 2

Calculeu la integral 

Exercici 3

Calculeu l’àrea de la regió del pla delimitada per la funció y = sinx i l’eix d’abscisses a l’interval [0, 2π]

Exercici 4

Calculeu l’àrea de la regió del pla delimitada per la funció y = x (x² – 1) i la funció  y = 3x

Solucions dels exercicis

1. Solució: 17/3 u.s.
2. Solució: 0 u.s.
3. Solució: 4 u.s.
4. Solució: 8 u.s.

• Fixeu-vos com, amb mateix gràfic, a l’exercici 2 (integral) dóna 0, i en canvi a l’exercici 3 (àrea) dóna 4 u.s.
• L’exercici 1 és un exemple de càlcul d’àrea entre una corba i l’eix d’abscisses.
• L’exercici 4 és un exemple de càlcul d’àrea entre dues corbes.