Danton Llapart

Inversa per l’esquerra i per la dreta

Una alumna de segon de batxillerat de ciències em va preguntar per què calia comprovar que una matriu era inversa d’un altre per la dreta si ja ho havia comprovat per l’esquerra. I jo vaig pensar: doncs té raó! Aquest article va dedicat a la Raquel.

Coneixements previs

Aquest article pressuposa que el lector coneix el \mathbb{R}-espai vectorial

(M_{mxn}(\mathbb{R}), + , \cdot \mathbb{R})

i que ja s’ha introduït les definicions de matriu transposada A^t, de producte de matrius AB \in M_{mxr}(\mathbb{R}) on A \in M_{mxn}(\mathbb{R}), B \in M_{nxr}(\mathbb{R}) i les propietats essencials, com l’associativa, la no commutativa del producte de matrius, les distributives…

Definició. Per a cada nombre natural n anomenem matriu identitat a la matriu quadrada de mida n.

I = I_n =  \begin{pmatrix}  1 & 0 & \cdots & 0\\  0 & 1 & \cdots & 0\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\  0 & 0 & \cdots & 1  \end{pmatrix} \in M_{nxn}(\mathbb{R})

Observacions. Es pot comprovar fàcilment que aquesta matriu fa d’element unitat respecte del producte de matrius, tant per la dreta com per l’esquerra.

A I = A \quad \forall A \in M_{mxn}(\mathbb{R}),\quad I B = B \quad \forall A \in M_{nxr}(\mathbb{R})

Exercici 1. Donades A = \begin{pmatrix}  1 & 1 & 0 \\  -1 & -1 & 1  \end{pmatrix}  \wedge  B = \begin{pmatrix}  2 & 0 \\  -1 & 0\\  1 & 1  \end{pmatrix} ,

Comproveu que AB = I_2 (solució), però BA \neq I_3 (solució).

 

Matrius invertibles

Definició. Donada una matriu A,

  1. Direm que A és una inversa per l’esquerra de B si es compleix que AB = I.
  2. Direm que A és una inversa per la dreta de B si es compleix que BA = I.

A l’exemple anterior, hem vist que en el cas de matrius no quadrades,  és possible trobar-ne dues que compleixin (1) AB = I, però no compleixin (2) BA = I.

L’objectiu d’aquest article és provar que en el cas de matrius quadrades això no pot passar. La inversa per l’esquerra d’una matriu quadrada també és inversa per la dreta i, de la mateixa manera, la inversa per la dreta d’una matriu quadrada també és inversa per l’esquerra. En termes matemàtics, cal provar el següent teorema.

Teorema. Siguin A, B \in M_{nxn}(\mathbb{R}). Si AB=I, aleshores BA=I.

 

Una demostració falsa

S’ha d’anar amb compte i no caure en la trampa de falses demostracions o fal·làcies.

Falsa prova (per reducció a l’absurd).

Suposem que AB=I (1) i que BA \neq I (2).

Multipliquem els dos membres de l’expressió (2) per A per l’esquerra!!

Ens queda A(BA) \neq A I.

En virtut de la propietat associativa del producte de matrius tenim (AB)A \neq AI.

Aplicant (1) ens queda IA \neq AI, d’on A \neq A, i això és absurd! ■

 

On està la fal·làcia?

Analitzarem el pas assenyalat amb signes d’exclamació i veurem perquè és incorrecte.

Abans, unes nocions bàsiques de càlcul de proposicions i sintaxi de primer ordre.

Contrarecíproc. (p \rightarrow q) \leftrightarrow (\lnot q \rightarrow \lnot p)

Reducció a l’absurd.  \Big( (p \land \lnot q) \rightarrow F \Big) \leftrightarrow (p \rightarrow  q)

Principi d’identitat. \forall x \quad (x = x)
Principi de substitució. \forall x \forall y \quad \bigg( (x = y) \rightarrow \forall \varphi \Big( \varphi (\ldots x \ldots ) = \varphi (\ldots y \ldots) \Big) \bigg)

A la falsa demostració aplica bé la reducció a l’absurd i arriba a una contradicció amb el principi d’identitat, però fa un mal ús del principi de substitució, doncs ho aplica a una no igualtat. Encara que el que vol demostrar és un teorema cert, la demostració no és vàlida perquè en aquesta utilitza una propietat que de fet és equivalent a la que vol demostrar sense demostrar-la, ho veiem amb detall.

En el pas assenyalat fa exactament el següent BA \neq I \rightarrow A (BA) \neq AI

Per simplificar, sigui X =BA, el que utilitza és X \neq I \rightarrow A X\neq A

En termes lògics, això és (x \neq y) \rightarrow \Big( \varphi (x) \neq \varphi (y) \Big), que equival al seu contrarecíproc, que és \Big( \varphi (x) = \varphi (y) \Big) \rightarrow (x = y) , expressió pròpia d’una funció \varphi injectiva.

En el nostre cas, per contrarecíproc, el pas utilitzat equival a AX = A \rightarrow X = I (3)

Això seria cert si A tingués inversa per l’esquerra, però que B és la seva inversa per l’esquerra és just el que volem demostrar.

Exercici 2. Trobar un contraexemple de AX = A \rightarrow X = I (3), és a dir, una matriu X \neq I que compleixi AX = A. Evidentment, la matriu A del contraexemple no pot tenir inversa per l’esquerra. (Solució aquí).

De fet, al lema de la demostració correcta que trobareu al següent apartat, provarem que en cas que AB = I (1), la propietat AX = A \rightarrow X = I (3) és equivalent a què BA = I (2), que és el que volem demostrar. És a dir, en un pas de la demostració s’utilitza una propietat equivalent a allò que es vol demostrar. I aquesta propietat no es demostra. Aquí està la fal·làcia!

 

Una altra demostració falsa

Per tant, el teorema quedaria provat si demostrem aquesta altra versió.

Teorema. Si AB = I \land AX = A,  aleshores X = I

S’ha d’anar amb compte, per què és molt temptador caure en falses demostracions.

Falsa prova. Suposem AB = I (1)

De AX = A tenim AX - A = 0, i traient factor comú tenim A(X - I) = 0.

Per (1) sabem que A \neq 0,

Si un producte val zero, un dels factors ha de ser zero!!!!

D’on X - I = 0, i per tant X = I. ■

 

I ara on està la falacia?

Novament el pas assenyalat amb signes d’exclamació és incorrecte.

L’àlgebra de matrius té divisors de zero. Això vol dir que de AY = 0 no podem deduir que A = 0 \lor Y = 0, perquè podem trobar contraexemples.

Exercici 3. Trobar un contraexemple de AY = 0 \rightarrow (A = 0 \lor B = 0), és a dir, dues matrius A \neq 0 \land Y \neq 0 que compleixin AY = 0. Evidentment, ni la matriu A ha de tenir inversa per l’esquerra, ni la matriu Y ha de tenir inversa per la dreta. (Solució aquí).

 

Demostració

Lema. Si AB = I, aleshores BA = I \leftrightarrow (\forall AX = A \rightarrow X = I)

Prova.

Suposem AB = I (1)

Demostrem \Rightarrow

Suposem BA = I (2)

Si AX = A multipliquem als dos membres de la igualtat per l’esquerra per B.

Tenim B(AX) = BA, que és (BA)X = BA, i utilitzant (1) resulta que IX =I.

Per tant X = I. ■

Demostrem \Leftarrow

Suposem AX = A \rightarrow X = I (3)

De IA = A, per (1), tenim (AB)A = A, d’on A(BA) = A

Sigui X=BA, tenim AX = A, i per (3) X=I.

Per tant BA=I. ■

Continuara…


Entrada feta amb \LaTeX

Deixa un comentari

Aquest lloc utilitza Akismet per reduir els comentaris brossa. Apreneu com es processen les dades dels comentaris.