Taula de Continguts
Notació
Acostumem a fer servir el símbol | | indistintament:
- pel valor absolut d’un nombre,
- pel mòdul d’un vector,
- pel determinant d’una matriu quadrada.
En aquest apunt surten els tres conceptes, per evitar confusions farem servir:
- | | per al valor absolut d’un nombre
- || || per al mòdul d’un vector
- det ( ) per al determinant d’una matriu quadrada.
Anem a diferenciar tres productes, producte per escalars, producte escalar i producte vectorial.
- Pel producte per escalar no posem cap símbol entre l’escalar i el vector.
- Pel producte escalar posarem un punt entre els dos vectors,
. Hi ha llibres que ho escriuen així
- Pel producte vectorial posarem el signe
entre els dos vectors,
. Hi ha llibres que ho escriuen així
Producte per escalars
És el producte d’un escalar (un nombre real) k per un vector , i el resultat és un vector
Geomètricament estem obtenim un vector que és linealment dependent al vector
- Si k > 0, el resultat és un vector amb la mateixa direcció i el mateix sentit.
- Si k = 0. el resultat és el vector
- Si k < 0, el resultat és un vector amb la mateixa direcció i sentit contrari.
Producte escalar
És el producte de dos vectors ,
i el resultat és un escalar (un nombre real).
Analíticament, treballant amb la base canònica usual l’expressió és:
En el cas de dimensió 2
En el cas de dimensió 3
Geomètricament està relacionat amb l’angle entre els dos vectors:
on és el mòdul del vector.
En el cas dimensió 2
En el cas de dimensió 3
Ens permet trobar l’angle que formen dos vectors, aïllant el cosinus:
Exemple en dimensió 3
Trobar l’angle que formen els vectores i
.
Si anomenem l’angle que formen els vectores, tenim:
Amb la calculadora tenim que 41º 48′ 47”
Aplicació. Condició d’ortogonalitat.
Dos vectors ,
són ortogonals, i escriurem
ssi
Aplicació. Vector ortogonal a un hiperplà.
Si n és la dimensió de l’espai, un hiperplà és un espai de dimensió n – 1.
En el cas de dimensió 2
Un hiperplà és una recta amb equació general r: Ax + By = C
El vector ortogonal a la recta és
En el cas de dimensió 3
Un hiperplà és un pla amb equació general : Ax + By + Cz = D
El vector ortogonal al pla és
Aplicació. Distància punt-hiperplà.
Donat un punt P i un hiperplà amb vector ortogonal
la distància entre el punt i l’hiperplà ve determinada per la fórmula
En el cas de dimensió 2
on (a,b) són les coordenades del punt P.
En el cas de dimensió 3
on (a,b,c) són les coordenades del punt P.
Aplicació. Distància entre dos hiperplans paral·lels.
En el cas de dimensió 2
Considerem la primera recta i
la segona recta.
.
En el cas de dimensió 3
Considerem el primer pla i
el segon pla.
.
Producte vectorial
En dimensió 2 aquest producte no està definit. Ho veurem només per dimensió 3.
És el producte de dos vectors ,
, i el resultat és un vector
.
Analíticament, treballant amb la base canònica usual, l’expressió és:
La tècnica és la següent, desenvolupem el determinant per la primera columna i els coeficients de i, j, k són les components del vector.
Propietat
ssi
i
són linealment dependents.
Geomètricament
Si i
són linealment independents.
aleshores és un vector no nul que és ortogonal als dos vectors alhora.
Aquesta interpretació geomètrica serà àmpliament utilitzada en exercicis de geometria mètrica.
Aplicacions al càlculs d’àrees i volums a l’espai
Aquestes són unes fórmules pràctiques. Normalment a les PAU te les recorde a l’enunciat quan s’han d’utilitzar.
Àrea d’un triangle de vèrtex A, B i C
Àrea d’un paral·lelogram de vèrtex A, B, C i D
Volum d’un tetraedre de vèrtex A, B, C i D
Volum d’un paral·lelepípede en el que B, C i D són vèrtexs contigus a A
Producte mixte de tres vectors
també s’anomena producte mixte, el resultat és un nombre, que representa el volum del paral·lelepípede.
Exercicis proposats
1. Trobar l’àrea del paral·lelogram que té per costats els vectors i
2. Obtenir el volum del tetraedre de vèrtexs A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) i D(1, 1, 7).
3. Trobar el volum del paral·lepípede format pels vectors ,
i
4. Calcular la distància entre el pla i el pla
.
Solucions: u.s.; 5/6 u.v; 91 u.v.; 5/6 u.
0 comments on “Productes d’àlgebra vectorial” Add yours →